Chapter 2 Topological Spaces and Continuous Functions

这篇记录主要是 Munkres Topology 的学习记录，其内容主要包括看书过后的各种定理、思绪的简记，一些直观、形象的自己的理解、思考，一些通过检索了解到的拓展。

Topological Spaces

定义一个概念是需要考虑概念的适用范围，需要足够广以至于能包含这个概念下所有常见的结构，同时也需要足够窄使得一些良好的性质得以保持（性质产生自限制）。

集合 $X$ 上的一个拓扑 $τ$ 定义为 $X$ 的一个子集族，满足

$\emptyset \in τ$ 且 $X \in τ$
关于任意并封闭：
关于有限交封闭（等价于对二元交封闭）：

例子：

有限集合的子集族也是有限的，可以枚举其上的所有拓扑。
离散拓扑，平凡拓扑
余有限拓扑。开集关于有限交和任意并封闭，取补得到开集的补集关于任意交和有限并封闭。集合有限这个性质是关于任意交和有限并封闭的。本质原因是任意交和有限并不会增加无限集合的势。所以余可数也是一个拓扑。

对于拓扑 $T$ 和 $T^{'}$ ，如果 $T \subseteq T^{'}$ 称 $T^{'}$ 比 $T$ 更精细（finer）， $T$ 比 $T^{'}$ 更粗糙（coarser）。严格更精细，严格更粗糙。如果 $T$ 和 $T^{'}$ 构成集合的包含关系称 $T$ 和 $T^{'}$ 可比（comparable）。

Basis for a Topology

$Definition$ ：集合 $X$ 上的一个基（basis） $B$ 定义为 $X$ 的子集族， $B$ 的元素称为基元素（basis elements），满足

覆盖性：任意 $x \in X$ 都存在 $B \in B$ 使得 $x \in B$ 。
如果 $x \in X$ 且 $B_{1}, B_{2} \in B$ 满足 $x \in B_{1} \cap B_{2}$ ，那么存在 $B_{3} \in B$ 满足 $x \in B_{3} \subseteq B_{1} \cap B_{2}$ 。

这里的第二条限制与另一种对基的定义中的第二条关于有限交封闭（任意 $B_{1}, B_{2} \in B$ 都有 $B_{1} \cap B_{2} \in B$ ）在形式上不同，但是可以验证二者是几乎等价的。

记上述定义为定义 1，利用 ”关于有限交封闭“ 的定义为定义 2，那么定义 2 确定的基在拓扑空间中存在两个互斥的开集时必须包含空集，而定义 1 在任何时候都可以不包含空集

定义 2 到定义 1：对任意 $B_{1}, B_{2} \in B$ ，如果 $B_{1} \cap B_{2} \neq \emptyset$ ，那么取 $B_{3} = B_{1} \cap B_{2}$ ，根据定义 $B$ 关于有限交封闭，自然 $B_{3} \in B$ ，且任意 $x \in B_{1} \cap B_{2}$ 都有 $x \in B_{3} = B_{1} \cap B_{2} \subseteq B_{1} \cap B_{2}$ 。如果 $B_{1} \cap B_{2} = \emptyset$ ，此时定义 1 的第二条限制真空地成立。
定义 1 到定义 2：直觉上有 $B_{3} \subseteq B_{1} \cap B_{2}$ 导致不充要的错觉。当 $B_{1} \cap B_{2} \neq \emptyset$ 时我们考虑 $B = ⋃_{x \in B_{1} \cap B_{2}} B_{x}$ ，其中 $B_{x} \in B$ 满足 $x \in B_{x} \subseteq B_{1} \cap B_{2}$ ，其存在性由定义 1 保证。我们断言 $B = B_{1} \cap B_{2}$ 。一方面，任意 $x \in B_{1} \cap B_{2}$ 都有 $x \in B_{x} \subseteq B$ ；另一方面，任意 $x \in B$ 都有对于某个 $x_{0} \in B_{1} \cap B_{2}$ ， $x \in B_{x_{0}} \subseteq B_{1} \cap B_{2}$ 。当 $B_{1} \cap B_{2} = \emptyset$ 时，定义 1 的第二条限制无法提供任何有效性息，但是定义 2 提供了 $\emptyset \in B$ 。

$Definition$ ：基 $B$ 生成的拓扑 $τ$ （ $B$ 称为 $τ$ 的一个基）定义为： $X$ 的子集 $U \in τ$ 当且仅当对于任意 $x \in U$ ，存在 $B \in B$ ，满足 $x \in B \subseteq U$ 。

这只确定了 $τ$ 的元素是满足一定性质的 $X$ 的子集，需要验证拓扑的定义才能证明 $τ$ 确实是一个拓扑，证明过程是平凡的。作为构造性定义我们立刻知道 $B$ 生成的拓扑 $τ$ 是唯一的。

$Lemma 13.1$ $B$ 生成的拓扑的一个等价描述（第二个定义）：一个基 $B$ 生成的拓扑 $τ^{'}$ 就是 $B$ 中所有的元素任意并。

$τ^{'}$ 是 $B$ 中所有的元素任意并等价于 $B \subseteq τ^{'}$ 且 $τ^{'}$ 关于任意并封闭。定义等价性的证明分为两个方向

第二个定义得到的拓扑 $τ^{'}$ 的任意开集 $U^{'}$ 同样也是 $τ$ 的开集：每一个 $B$ 的元素任意并显然都是 $τ$ 的元素，满足第一个定义。
第一个定义得到的拓扑 $τ$ 的任意开集 $U$ 同样也是 $τ^{'}$ 的开集：利用 $τ$ 的定义，考虑 $⋃_{x \in U} B_{x}$ ，这显然是一个 $B$ 的元素任意并。

以上两个定义描述了从 $B$ 得到 $τ$ 的方法（自下而上的构造方法），接下来给出一种从 $τ$ 得到其一个基（不唯一） $B$ 的方法（自上而下的判定方法）。

$Lemma 13.2$ 给定拓扑空间 $(X, τ)$ ，如果 $X$ 的开集族 $C$ 满足任意 $U \in τ$ 和任意 $x \in U$ ，都存在 $C \in C$ 使得 $x \in C \subseteq U$ ，那么 $C$ 是 $τ$ 的一个基。

类比基的生成拓扑的两个定义的等价性的证明，这等价于说任意开集 $U$ 可以表示为 $C$ 的某个元素任意并。证明中我们只需要说明 $C$ 是一个基，从而根据基的生成拓扑的定义得到 $τ$ 就是 $C$ 生成的拓扑。取 $U = X$ 立刻得到覆盖性成立；分别取任意开集 $U_{1}, U_{2} \in X$ 则存在 $C_{1} (x), C_{2} (x)$ 满足任意 $x \in U_{i}$ 有 $x \in C_{i} (x) \subseteq U_{i}$ ，从而任意 $x \in U_{1} \cap U_{2}$ 有 $x \in C_{1} (x) \cap C_{2} (x) \subseteq U_{1} \cap U_{2}$ 。从而 $C$ 是一个基。

由于 $τ$ 的任意一个基都满足 $Lemma 13.2$ ，所以 $Lemma 13.2$ 的判定是充要的。

当通过基来描述拓扑时，我们希望可以直接利用基的性质来描述相应拓扑的精细度，而不是对相应的拓扑直接分析。

$Lemma 13.3$ ：拓扑 $T$ 和拓扑 $T^{'}$ 的一个基分别为 $B$ 和 $B^{'}$ ， $T^{'}$ 比 $T$ 更精细等价于任意 $x \in X$ 和任意包含 $x$ 的 $B \in B$ ，存在 $B^{'} \in B^{'}$ 满足 $x \in B^{'} \subseteq B$ 。

证明是平凡的。直观理解可以考虑鹅卵石（ $B$ ）被碾碎为粉末（ $B^{'}$ ）的例子， $Lemma 13.3$ 说的就是每一粒粉末都是某个鹅卵石得到的。

一个推论是平面上所有圆形区域构成的基生成的拓扑空间与平面上所有矩形区域构成的基生成的拓扑空间是相同的。

$Definition$ ：

$R$ 上的标准拓扑（standard topology）为所有开区间生成的拓扑空间，这是提到 $R$ 时默认的拓扑。
$R$ 上的下限拓扑（lower limit topology）为所有左闭右开区间生成的拓扑空间。当 $R$ 被赋予下限拓扑时，将其记为 $R_{l}$
$R$ 上的 $K$ 拓扑（K-topology）为所有 $(a, b) - K$ 生成的拓扑空间，其中 $(a, b)$ 为开区间， $K = {\frac{1}{n} ∣ n \in Z_{+}}$ 。当 $R$ 被赋予 $K$ 拓扑时，将其记为 $R_{K}$ 。

不难验证上述基的选择都是符合定义的。

$Lemma 13.4$ ： $R_{l}$ 和 $R_{K}$ 上的拓扑都比 $R$ 上的标准拓扑严格精细； $R_{l}$ 与 $R_{K}$ 上的拓扑是不可比的。

$Definition$ ： $X$ 上的一个子基 $S$ 是满足覆盖性的 $X$ 的子集族。 $S$ 生成的拓扑 $τ$ 是 $S$ 的所有元素有限交的任意并。

类似地，我们需要检查 $τ$ 确实是一个拓扑，这只需要检查 $S$ 的所有元素有限交构成一个基，这是平凡的。

The Order Topology

$X$ 具有严格全序关系 $<$ 的情况，可以自然地通过这个序关系诱导得到一个拓扑，称为序拓扑（Order Topology）。

$X$ 上可以定义四种区间（interval: open interval, half-open interval, closed interval）和四种半无穷区间（ray: open ray, closed ray）。定义略。

本章的主要结果为

序拓扑是由所有开区间、左端点为最小元的左闭右开区间（如果有）、右端点为最大元的左开右闭区间（如果有）作为基生成得到的。这是序拓扑的定义
所有开半无穷区间是序拓扑的一个子基。

一些例子：

$R$ ，自然序
$R \times R$ ，字典序。所有形如 $((a, b), (c, d))$ 其中 $a = c, b < d$ 的开区间也是一个基
$Z_{+}$ ，自然序。其序拓扑就是 $Z_{+}$ 上的离散拓扑
${1, 2} \times Z_{+}$ ，字典序。不是离散拓扑，任何包含点 $(2, 1)$ 的开区间都不是单点集。

The Binary Product Topology

$Definition$ ：拓扑空间 $X, Y$ 的乘积拓扑空间（在合适的语境下可以简称为乘积空间）定义为 $X \times Y$ 上由所有形如 $U \times V$ 的集合组成的基生成的拓扑空间，其中 $U, V$ 分别为 $X, Y$ 上的开集。

验证 ${U \times V ∣ U \in T_{X}, V \in T_{Y}}$ 构成一个基是平凡的，利用笛卡尔积的性质 $(U_{1} \times V_{1}) \cap (U_{2} \times V_{2}) = (U_{1} \cap U_{2}) \times (V_{1} \cap V_{2})$ 即可。

$Theorem 15.1$ ： $X$ 上拓扑的一个基为 $B$ ， $Y$ 上拓扑的一个基为 $C$ ，那么 $D = {B \times C ∣ B \in B, C \in C}$ 是乘积空间 $X \times Y$ 的一个基。

$Proof$ ： $B$ 生成的拓扑记为 $T_{X}$ ， $C$ 生成的拓扑记为 $T_{Y}$ ，乘积空间上的拓扑记为 $T_{X \times Y}$ 。利用 $Lemma 13.2$ ，考虑 $W \in T_{X \times Y}$ ，任意 $w \in W$ ，根据乘积空间的定义存在 $U \in T_{X}, V \in T_{Y}$ 满足 $w \in U \times V$ ，考虑分量 $w = x \times y$ （这是 $(x, y)$ 的另一种记号），有 $x \in U, y \in Y$ 。根据 $B$ 的定义，存在 $B \in B$ 满足 $x \in B \subseteq U$ ，类似地存在 $C \in C$ 满足 $y \in C \subseteq V$ ，所以 $w = x \times y \in B \times C \subseteq D$ 。从而 $D$ 是 $T_{X \times Y}$ 的一个基。

直观理解： $U$ 为 $B$ 的某个元素任意并 $⋃ U_{i}$ ， $V$ 为 $C$ 的某个元素任意并 $⋃ V_{i}$ ，乘积空间的定义中的 $U \times V$ 实际上包括了构成 $U$ 和 $V$ 的基元素两两配对所构成的 $X \times Y$ 中的 “矩形” $U_{i} \times V_{j}$ ，而 $D$ 实际上是所有这样的 “矩形”。一个例子是 $R$ 配备标准拓扑的乘积空间 $R^{2}$ ，此时考虑 $R$ 的常见基（即所有有限开区间。这是以下表述的必要条件，因为它是某种意义上的"最小基"），那么 "矩形" 就对应 $R^{2}$ 上的一个矩形区域。

$Definition$ ：乘积空间 $X \times Y$ 到其第一个分量的投影定义为满射 $π_{1} : X \times Y \to X$ 满足 $π_{1} (x, y) = x$ 。 $π_{1}$ 的原像集 $π_{1}^{- 1} (U) = U \times Y$ 。

$Theorem$ ： $S = {π_{1}^{- 1} (U) ∣ U open in X} \cup {π_{2}^{- 1} (V) ∣ V open in Y}$ 构成乘积空间 $X \times Y$ 的一个子基。

证明是平凡的。

The Subspace Topology

$Definition$ ：拓扑空间 $(X, T_{X})$ 的子空间 $(Y, T_{Y})$ 定义为：

$Y$ 为 $X$ 的一个子集（不一定是开集）
$T_{Y} = {Y \cap U ∣ U \in T_{X}}$ ， $T_{Y}$ 称为子空间拓扑

容易验证子空间拓扑是一个拓扑。

$Lemma 16.1$ ： $B$ 是拓扑空间 $X$ 的一个基，那么 $B_{Y} = {B \cap Y ∣ B \in B}$ 是子空间 $Y$ 的一个基。

$Proof$ ：任意 $U \in T_{Y}$ 都可以写为 $Y \cap V, V \in T_{X}$ ，考虑任意 $x \in U$ 都有 $x \in Y$ 且 $x \in V$ ，利用 $B$ 的定义存在 $B \in B$ 满足 $x \in B$ ，从而 $x \in B \cap Y \subseteq B_{Y}$ 。

$Lemma 16.2$ ： $Y$ 为 $X$ 的子空间，对于任意 $U \in T_{Y}$ 如果 $Y \in T_{X}$ 那么有 $U \in T_{X}$ 。

$Proof$ ：对于 $U \in T_{Y}$ ，其可以写为 $Y \cap V, V \in T_{X}$ ，如果 $Y \in T_{X}$ ，根据拓扑对于有限交的封闭性有 $U = Y \cap V \in T_{X}$ 。

注意这个定理的逆定理（鉴于 $p \to (q \to r)$ 、 $(p \land q) \to r$ 、 $q \to (p \to r)$ 三者的逻辑等价性，这个复合公式的逆定理也会有三种，此处应当理解为：如果任意 $U \in T_{Y}$ 都有 $U \in T_{X}$ ，那么 $Y \in T_{X}$ 。好吧似乎有点过于显然了）是成立的。用自然语言来表述为：子空间的开集是原空间的开集当且仅当子空间是原空间的开集。

$Theorem 16.3$ ： $(A, T_{A})$ 是 $X$ 的子空间， $(B, T_{B})$ 是 $Y$ 的子空间，那么 $A \times B$ 作为 $A, B$ 的乘积空间配备的乘积拓扑与 $A \times B$ 作为 $X \times Y$ 的子空间配备的子空间拓扑是等价的。

$Proof$ ：一种证明思路是证明二者存在一个相同的基 $D_{A \times B} = {U \times V ∣ U \in B_{A}, V \in C_{B}}$ ，其中 $B_{A}, C_{B}$ 分别为子空间拓扑 $T_{A}, T_{B}$ 的基 ${U \cap X ∣ U \in B}, {V \cap Y ∣ V \in C}$ 。根据 $Theorem 15.1$ $D_{A \times B}$ 是 $A \times B$ 配备乘积拓扑的一个基；根据 $Theorem 15.1$ 利用乘积空间 $X \times Y$ 上的基 $D = {U \times V ∣ U \in B, V \in C}$ 改写 $D_{A \times B}$ ：

\begin{aligned} U \times V \in D_{A \times B} & \Leftrightarrow U \in B_{A}, V \in C_{B} \\ \Leftrightarrow U = A \cap U^{'}, V = B \cap V^{'}, U^{'} \in B, V^{'} \in C \\ \Leftrightarrow U \times V = (A \cap U^{'}) \times (B \cap V^{'}) = (A \times B) \cap (U^{'} \times V^{'}) \in D_{A \times B} \\ \Leftrightarrow W = U \times V = (A \times B) \cap W^{'} \in D_{A \times B}, W^{'} = U^{'} \times V^{'} \in D \\ D_{A \times B} & = {W^{'} \cap (A \times B) ∣ W^{'} \in D} \end{aligned}

根据 $Lemma 16.1$ ，这恰好是 $A \times B$ 作为子空间的一组基。

所以考虑 $X \times Y$ 的子集 $A \times B$ 配备的拓扑时，两种说法时等价的，不会导致模糊。

$Definition$ ：对于配备全序的集合 $X$ ，考虑 $Y \subseteq X$ ，称 $Y$ 在 $X$ 中是凸的，当且仅当任意 $a, b \in Y, a < b$ ，都有 $(a, b) \subseteq Y$ 。用自然语言来表述为

$Theorem 16.4$ ：对于配备全序的集合 $X$ ，其严格全序为 $<_{X}$ ， $(X, <_{X})$ 的序拓扑为 $(X, <_{X}, T_{X})$ ；任意 $X$ 的子集 $Y$ ， $<_{X}$ 限制到 $Y$ 上为 $<_{Y}$ 。如果 $Y$ 是凸的，那么 $Y$ 的子空间拓扑与 $(Y, <_{Y})$ 的序拓扑是等价的。

$Proof$ ：核心在于，凸性保证了 $Y$ 的子空间拓扑的常见子基恰好就是 $<_{Y}$ 得到的序拓扑的常见子基。以左开右无穷的区间为例， $a \in X, (a, + \infty)_{X} \cap Y = {x \in Y | x > a}$ ，当 $a \in Y$ 这恰好是 $Y$ 的一个半无穷区间，当 $a \notin Y$ ， $a$ 必然是 $Y$ 的一个上界或者下界（若否 $\exists y_{1}, y_{2} \in Y, y_{1} < a < y_{2}$ ，根据凸性有 $a \in (y_{1}, y_{2})_{Y} \subseteq Y$ ，矛盾），从而 $(a, + \infty)_{X} \cap Y$ 要么是 $Y$ 要么是 $\emptyset$ 。无论如何都有 $X$ 的半无穷区间与 $Y$ 的交在 $Y$ 的序拓扑意义下是开集，即子空间拓扑意义下的开集是拓扑意义下的开集。另一个方向 $b \in Y, (b, + \infty)_{Y} = {x \in X ∣ x \in Y, x > b} = {x \in X ∣ x > b} \cap Y$ ， $b \in Y \subseteq X$ 。

非秃导致的反例：

$R$ ，自然序， $Y = [0, 1) \cup {2}$
$R^{2}$ ，自然字典序， $Y = [0, 1] \times [0, 1]$ 。

考虑配备序的集合 $X$ 的子集 $Y$ 配备的拓扑时，我们约定默认指子空间拓扑。

Closed Sets and Limit Points

Closed Sets

$Definition$ ：拓扑空间 $(X, τ)$ 的子集 $U \subseteq X$ 是闭集当且仅当 $X - U \in τ$ 。

闭集满足类似开集的三条性质：覆盖性，有限并，任意交。

我们也可以用闭集来刻画拓扑空间，然后将开集定义为闭集的补。这两种定义是等价的。

接下来给出若干子空间拓扑相关定理用闭集语言来描述的等价形式

$Theorem 17.2$ ： $Y$ 是 $X$ 的子空间， $A$ 是 $Y$ 中的闭集当且仅当 $A = U \cap Y$ ，其中 $U$ 是 $X$ 中的闭集。

$Theorem 17.3$ ： $Y$ 是 $X$ 的子空间，任意 $Y$ 的闭集 $A$ 都是 $X$ 的闭集当且仅当 $Y$ 是 $X$ 中的闭集。

Closure and Interior

$Definition$ ：给定拓扑空间 $X$ 上的一个集合

$A$ 的内部（interior）定义为所有包含在 $A$ 内的开集的并集， $Int A = ⋃_{U \in τ, U \subseteq A} U$
$A$ 的闭包（closure）定义为所有包含 $A$ 的闭集的交集， $Cl A = \bar{A} = ⋂_{X - U \in τ, A \subseteq U} U$

处理子空间拓扑时需要注意闭包是相对于哪个拓扑空间而言的， $Y$ 是 $X$ 的子空间， $A$ 是 $Y$ 的子集，我们约定记号 $\bar{A}$ 表示 $A$ 在 $X$ 中的闭包，并且根据一下定理我们有 $A$ 在 $Y$ 中的闭包为 $\bar{A} \cap Y$ 。

$Theorem 17.4$ ： $Y$ 是 $X$ 的子空间， $A \subseteq Y$ ，那么 $A$ 在 $Y$ 中的闭包为 $\bar{A} \cap Y$ 。

$Proof 1$ ：

${Cl}_{Y} A \subseteq {Cl}_{X} A \cap Y$ ： ${Cl}_{X} A \cap Y$ 是 $Y$ 中的一个闭集（ ${Cl}_{X} A$ 是 $X$ 中的闭集，且 $Y$ 是 $X$ 的子空间）并且包含 $A$ （ $A \subseteq {Cl}_{X} A$ 且 $A \subseteq Y$ ），由于 ${Cl}_{Y} A$ 是所有包含 $A$ 的 $Y$ 的闭集的交集，所以 ${Cl}_{Y} A \subseteq {Cl}_{X} A \cap Y$ 。
${Cl}_{X} A \cap Y \subseteq {Cl}_{Y} A$ ： ${Cl}_{Y} A$ 是 $Y$ 中的一个闭集，所以存在 $X$ 中的闭集 $U$ 使得 $U \cap Y = {Cl}_{Y} A$ ，并且 $U$ 包含 $A$ （ $A \subseteq {Cl}_{Y} A = U \cap Y \subseteq U$ ），由于 ${Cl}_{X} A$ 是所有包含 $A$ 的 $X$ 的闭集的交集，所以 ${Cl}_{X} A \subseteq U$ ，进一步有 ${Cl}_{X} A \cap Y \subseteq U \cap Y = {Cl}_{Y} A$ 。

$Proof 2$ ： $Proof 1$ 过于神奇，我们直接考虑

\begin{aligned} {Cl}_{Y} A & = ⋃_{U closed in Y, A \subseteq U} U \\ = ⋃_{U^{'} closed in X, A \subseteq U^{'} \cap Y} U^{'} \cap Y \\ = ⋃_{U^{'} closed in X, A \subseteq U^{'}} U^{'} \cap Y \\ = (⋃_{U^{'} closed in X, A \subseteq U^{'}} U^{'}) \cap Y \\ = {Cl}_{X} A \cap Y \end{aligned}

$Proof 3$ ：利用闭包的邻域刻画。鸽了。

从直观上来理解，将 $X, Y, A$ 置于一个更大的拓扑空间，我们分析 ${Cl}_{X} A$ 与 ${Cl}_{Y} A$ 什么时候会产生不同，考虑 $C = \partial Y \cap \partial A$ ，如果 $C$ 是空集，那么二者显然相同，如果 $C$ 不是空集，考虑 $C$ 的元素 $c$

如果 $c \in X, c \in Y$ 那么二者是相同的，都有 $c$ ；
如果 $c \in X, c \notin Y$ 那么二者不同， ${Cl}_{Y} A$ 会比 ${Cl}_{X} A$ 在此处少一个 $c$ ；
如果 $c \notin X, c \notin Y$ 那么二者是相同的，都没有 $c$ 。

Definition 中给出的闭包的定义是不方便计算的，我们有如下定理给出了一种对闭包元素的判定方法。我们实际上可以用这个定理来等价地定义闭包。

$Definition$ ： $U \subseteq X$ 是 $x \in X$ 的一个邻域当切记当存在开集 $V \subseteq U$ 满足 $x \in V$ 。称 $U$ 是 $x$ 的一个开邻域当且仅当 $U$ 是开集且是 $x$ 的邻域。

此外我们还常常见到另一种定义 $U \subseteq X$ 是 $x \in X$ 的邻域当且仅当 $U$ 是一个包含 $x$ 的开集。显然第一种定义确定的 $x$ 的所有邻域是比第二种定义要多的，这表明这两个定义在形式上并不是等价的。（不过第一种定义中的开邻域与第二种定义是等价的）在某种意义下两个定义是等价的，某种意义指的是全部的证明都不依赖于第一种定义中非开邻域，取更多的集合作为邻域只是为了表达上的简便性。

$Theorem 17.5$ ： $A$ 是拓扑空间 $X$ 的一个子集， $B$ 是 $X$ 的一个基

$x \in \bar{A}$ 等价于任意包含 $x$ 的开集（或者等价地，任意 $x$ 的邻域）都与 $A$ 相交。
$x \in \bar{A}$ 等价于任意包含 $x$ 的基元素 $B \in B$ 都与 $A$ 相交。

$Proof$ ：第二条在基于第一条的前提下是显然的，对于第一条考虑逆否形式，分为两部分：

如果 $x \notin \bar{A}$ ，那么存在一个包含 $x$ 的开集 $U$ 不与 $A$ 相交：取 $U = X - \bar{A}$ 。
如果存在一个包含 $x$ 的开集 $U$ 不与 $A$ 相交，那么 $x \notin \bar{A}$ ：考虑 $X - U$ ，这是一个不包含 $x$ 且包含 $A$ 的闭集，根据闭包的定义， $\bar{A} \subseteq X - U$ ，自然 $x \notin \bar{A}$ 。

$Proof 2$ ： $x \in \bar{A}$ 等价于所有包含 $A$ 的闭集都包含 $x$ ，所有包含 $x$ 的开集都与 $A$ 相交等价于所有与 $A$ 不相交的开集都不包含 $x$ ，利用开集与闭集的补对应（所有与 $A$ 不相交的开集都对应一个包含 $A$ 的闭集 $X - A$ ），所有包含 $A$ 的闭集都包含 $x$ 。

直觉似乎无法渗透逆否形式，原形式并没有逆否形式这么显然。但是从演绎推理的角度分析，（某一种角度上而言）本质都是利用假言推理进行公式的变换。这是否说明直觉的构建程度在不同的推理序列（树）上是不同的。

我们可以进一步证明如下直觉：

$x \in \partial A$ 等价于任意包含 $x$ 的开集都同时包含 $A$ 与 $X - A$ 中的元素： $x \in \partial A$ 等价于 $x \in \bar{A}$ 且 $x \notin Int A$ ，前者等价于任意包含 $x$ 的开集都包含 $A$ 内的元素，后者根据以下直觉并利用逆否形式，等价于任意包含 $x$ 的开集都不仅包含 $A$ 内的元素（语言上似乎有歧义，应理解为存在 $A$ 之外的元素，但并不一定保证 $A$ 内元素存在）。
$x \in Int A$ 等价于存在一个包含 $x$ 的开集仅包含 $A$ 内的元素：利用 $Int (A) = X - (\overset{―}{X - A})$ ，将命题转换为 $x \notin \overset{―}{(X - A)}$ 等价于存在一个包含 $x$ 的开集只包含 $A$ 内的元素，进一步转换为 $x \notin \overset{―}{(X - A)}$ 等价于存在一个包含 $x$ 的开集不包含 $X - A$ 内的元素，化归到闭包的定义。

Limit Point

$Definition$ ： $A$ 是拓扑空间 $X$ 的子集，对于 $x \in X$ ，称 $x$ 是 $A$ 的极限点当且仅当，所有 $x$ 的邻域与 $A$ 的交集都包含非 $x$ 的其他点。或者等价地用闭包语言： $x$ 是 $A$ 的极限点当且仅当其属于 $A - {x}$ 的闭包（ $x$ 的任意邻域与 $A - {x}$ 的交集非空）。

描述闭包的另一种等价形式是利用极限点语言。以下定理给出了极限点集合与闭包的关系。

$Theorem 17.6$ ： $A$ 是拓扑空间 $X$ 的一个子集， $A^{'}$ 为 $A$ 的所有极限点构成的集合，成立 $\bar{A} = A \cup A^{'}$ 。

$Proof$ ：考察 $x$ 的任意邻域与 $A$ 的交集 $B$

$x \in A$ 等价于 $y \in B, y = x$
$x \in A^{'}$ 等价于 $y \in B, y \neq x$
$x \in \bar{A}$ 等价于 $y \in B$

已经很显然了。

$Corollary 17.7$ ：拓扑空间的子集是闭集当且仅当其包含所有它的极限点。

Hausdorff Space

$R$ 上的一些开闭集、极限点、收敛序列的直觉在一般的拓扑空间中可能不成立

例子： $X = {a, b, c}, τ = {\emptyset, {a, b, c}, {b}, {a, b}, {b, c}}$ 。单点集 $b$ 并不是闭集，点列 $x_{n} = b$ 同时收敛到 $a, b, c$ 三个点

$Definition$ ：拓扑空间的点列 ${x_{n}}$ 收敛到 $x$ 定义为对于任意 $x$ 的邻域 $U$ ，存在 $N (U)$ 当 $n > N$ 时有 $x_{n} \in U$ 。

T1 Axism and Hausdorff Space

$Definition$ ：拓扑空间 $X$ 被称为 $Hausdorff$ 空间当且仅当任意不同的点对 $x_{1}, x_{2}$ ，存在 $x_{1}, x_{2}$ 邻域 $U_{1}, U_{2}$ 使得 $U_{1} \cap U_{2} = \emptyset$ 。

$Theorem 17.8$ ：Hausdorff 空间中的任意有限点集都是闭集。

$Proof$ ：考虑不同于点 $x$ 的任意一点 $y$ ，总存在一个 $y$ 的邻域其与 ${x}$ 的交集为空，从而 $y$ 不是 ${x}$ 的极限点，从而 ${x}$ 的闭包就是 ${x}$ ，是闭集。根据闭集的有限并性质，任意有限点集都是闭集。

$X$ 上的任意有限点集是闭集这个性质被称为 $T_{1}$ 分离公理，比 $X$ 是 Hausdorff 空间要弱，考虑 $R$ 上的余有限拓扑，其非 Hausdorff 空间（任意两个点都无法被不交的邻域分开），但是任何有限点集都是闭集。

$Theorem 17.9$ ： $X$ 满足 $T_{1}$ 分离公理， $A$ 是 $X$ 的子集， $x$ 是 $A$ 的极限点当且仅当任意 $x$ 的邻域包含无限多个 $A$ 中的点。

$Proof$ ：必要性显然，充分性考虑反证法，假设 $U$ 是 $x$ 的邻域且 $U \cap (A - {x}) = {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}$ ，那么考虑邻域 $U \cap (X - {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}})$ ，其与 $A - {x}$ 的交为空，矛盾。

$Theorem 17.10$ ：Hausdorff 空间的点列收敛到至多一个点。

$Theorem 17.11$ ：

全序集在序拓扑下是 Hausdorff 空间
Hausdorff 空间的二元乘积空间是 Hausdorff 空间
Hausdorff 空间的子空间是 Hausdorff 空间

Continuous Functions

$Definition$ ：拓扑空间 $X, Y$ ，函数 $f : X \to Y$ 连续当且仅当任意 $Y$ 的开集 $V$ 有 $f^{- 1} (V)$ 也是 $X$ 中的开集。

连续性不仅取决于映射关系，还取决于定义域与值域上的拓扑

一些例子：

这个定义限制到 $f : D \to R$ 并赋予标准拓扑以及子空间拓扑（ $D \in R$ ）时，与 $δ - ε$ 语言体系中的连续性定义（ $f$ 在整个定义域 $D$ 上连续）是等价的。
- 充分性：考虑 $x_{0} \in D$ 以及任意 $ε > 0$ ，若 $V = (f (x_{0}) - ε, f (x_{0}) + ε)$ 是 $R$ 上的一个开集，考虑 $f^{- 1} (V)$ ，根据拓扑定义其也是一个开集，并且 $x_{0} \in f^{- 1} (V)$ ，那么存在基元素 $(a, b) \subseteq f^{- 1} (V)$ （或 $[a . b)$ 此时 $a$ 是 $D$ 的最小元素，或 $(a, b]$ 此时 $b$ 是 $D$ 的最大元素，当 $x_{0}$ 恰好是 $D$ 的边界元素时必然会出现这种情况，后续论述类似， $δ$ 只取一侧且叙述只涉及一侧即可）满足 $x_{0} \in (a, b)$ ，取 $δ = min {b - x_{0}, x_{0} - a}$ ，那么当 $x \in D \land | x - x_{0} | < δ$ 时有 $| f (x) - f (x_{0}) | < ε$ 。
- 必要性：若 $V$ 是 $R$ 上的一个开集，考虑任意 $x_{0} \in f^{- 1} (V)$ ，存在某个基元素 $(a, b)$ 使得 $f (x_{0}) \in (a, b) \subseteq f^{- 1} (V)$ ，取 $ε = min {b - f (x_{0}), f (x_{0}) - a}$ ，根据微积分定义，存在 $δ > 0$ ，当 $x \in D \land | x - x_{0} | < δ$ 即 $x$ 属于 $D$ 上的一个开集 $U = (x_{0} - δ, x_{0} + δ) \cap D$ 时有 $| f (x) - f (x_{0}) | < ε$ ，即 $U \subseteq f^{- 1} (V)$ 。那么任意 $x_{0} \in f^{- 1} (V)$ 都存在 $D$ 上的开集 $U$ 满足 $x_{0} \in U \subseteq f^{- 1} (V)$ ，从而 $f^{- 1} (V)$ 是 $D$ 上开集的任意并，所以 $f^{- 1} (V)$ 也是 $D$ 上的开集。
恒等映射 $f : R \to R_{l}$ 不是连续映射，但是恒等映射 $f : R_{l} \to R$ 是连续映射。

$Theorem 18.1$ ：拓扑空间 $X, Y$ ，函数 $f : X \to Y$ ，以下叙述等价

$f$ 是连续函数。
对于 $X$ 的任意子集 $A$ 都有 $f (\overset{―}{A}) \subseteq \overset{―}{f (A)}$ 。
对于 $Y$ 的任意闭集 $B$ 都有 $f^{- 1} (B)$ 是 $X$ 的闭集。
对于任意 $x \in X$ 且任意 $f (x)$ 的邻域 $V$ ，都有一个 $x$ 的邻域 $U$ 使得 $f (U) \subseteq V$ 。

在 $f : R \to R$ 以及标准拓扑上的直观理解。对于连续函数 $f$ ，考虑 $V$ 是一个简单开区间 $(a, b)$ 的情况， $f^{- 1} (V)$ 就是用 $y = a, y = b$ 去截取 $y = f (x)$ 的图像得到的多个连续段对应的横坐标区间（基本的情况是单调增、减的段，调整 $a, b$ 时相邻的段可能会合并，但是 Weierstrass 函数在任意区间上都不单调！所以这种理解只适用于几乎处处局部单调的函数）的并，对于连续函数而言，由于 $V$ 是开的，所以截取得到的各个横坐标区间都是开的。当函数不连续时

两条截取线如果跨过某一段的不连续的部分（典型情况为连续区间上值的跳跃，端点处有定义的第一类间断点、无穷间断点。定义域”间断“的情况不属于不连续。对于震荡间断点以及其他端点极限不存在的情况属于未完全分段）当前截取得到的段的端点就会停止在连续段的端点处（考虑 $f (x) = x + 1, x < 0, x - 1, x \geq 0$ 分为两个连续段 $(- \infty, 0)$ ， $[0, \infty)$ ，当 $a$ 向下跨过 $- 1$ 时，右边的截取段的左端点就会停止在 $0$ ），如果端点闭且半连续那么就会出现闭集
孤立的单点可以被单独地截取为单点集。

$Proof$ ：

1 到 2：将证明如果 $x \in \overset{―}{A}$ ，那么 $f (x) \in \overset{―}{f (A)}$ 。只需要证明 $f (x)$ 的任意邻域都与 $f (A)$ 相交。考虑 $f (x)$ 的邻域 $V$ ，根据 1 有 $f^{- 1} (V)$ 是包含 $x$ 的开集，其作为 $x$ 的邻域根据 $x \in \overset{―}{A}$ 有 $f^{- 1} (V) \cap A \neq \emptyset$ ，设 $y \in V, f^{- 1} (y) \in A$ ，从而 $y \in f (A)$ ，即 $V \cap f (A) = y \neq \emptyset$ ，从而 $f (x) \in \overset{―}{f (A)}$ 。